Математические софизмы. Презентация на тему "математические софизмы" Что такое софизм

СодержаниеВведение
Древние софизмы
Числовые софизмы
Геометрические софизмы
Выводы

Что такое софизм?

Софизм (от греческого sophismaуловка, выдумка, головоломка)- логически
неправильное рассуждение, выдаваемое
за правильное.
Математический софизм- удивительное
утверждение, в доказательстве которого
кроются незаметные, а подчас и довольно
тонкие ошибки.
Эффектная демонстрация явно
неверного доказательства- в этом и
состоит смысл софизма.

Древние софизмы

Где появились софизмы?
В Древней Греции.
Для чего они создавались? С какой
целью?
Появление софизмов заставило
задуматься математиков о
логическом строении геометрии и
арифметики.
Кто придумал математические софизмы?
мудрец Зенон Элейский
в V веке до нашей эры.

Древние софизмы

Древний софизм «Рогатый»
Равен ли полный стакан пустому
Последние годы нашей жизни короче,
чем первые.

Древний софизм «Рогатый»

То, что ты не потерял, то и
имеешь. Ты не потерял рога,
следовательно, ты их имеешь.
Где ошибка?
ответ

Равен ли полный стакан пустому?

Оказывается, что да.
Пусть есть стакан, наполненный водой до
половины.
Тогда стакан, наполовину полный, равен стакану,
наполовину пустому.
Увеличим обе части равенства вдвое, получим, что
стакан полный равен стакану пустому.
=
Где ошибка?
ответ

Последние годы нашей жизни короче, чем первые

Известно изречение: в молодости идет время
медленнее, а в старости скорее. Это изречение
можно доказать математически.
Человек в течение тридцатого года жизни
проживает 1/30 часть своей жизни, в течение
семидесятого -1/70 часть жизни. Очевидно, что
1/30>1/70. Откуда ясно, что последние годы
жизни короче первых.
Не подвела ли математика?
ответ

Числовые софизмы

2=3
5=6
2·2=5
1=0, или уравнение x-a=0
не имеет решения

2=3

Рассмотрим очевидное равенство:
(2-5/2)2=(3-5/2)2
Тогда
(2-5/2)=(3-5/2)
Прибавив к обеим частям равенства по 5/2,
получим
2=3
Где ошибка?
ответы

5=6

Возьмем тождество:
35+10-45=42+12-54
Вынесем за скобки общий
множитель:
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
Разделим обе части на (7+2-9)
Получим 5=6
ответ

2·2=5

Напишем тождество:
4:4=5:5
Вынесем в каждой части общие
множители за скобки:
4·(1:1)=5·(1:1)
Так как 1:1=1, то 4=5, или
2·2=5
ответ

1=0, или уравнение х-а=0 не имеет корней

Дано уравнение x-a=0
Имеем:
(X-A)
0
=
(X-A)
(X-A)
1=0
Так как это равенство неверное, то
исходное уравнение не имеет
корней.
ответ

Геометрические софизмы

Пусть ΔАВСпроизвольный.
Проведем биссектрису
угла В и серединный
перпендикуляр к
отрезку АС.
Точку их пересечения
обозначим М.
Т.к. MD- высота и
медиана в ΔАМС, то он
равнобедренный
и АМ=МС
А
В
м
D
С

Геометрические софизмы

Опустим из точки М
перпендикуляры МЕ и MF на
стороны АВ и ВС
соответственно.
Из равенства треугольников
ВЕМ и ВFМ следует, что
МЕ=MF, ВЕ=BF.
В
E
F
м
А
D
С

Геометрические софизмы

Следовательно,
прямоугольные
треугольники АМЕ и
CMF равны:
у них равны
гипотенузы (АМ и МС)
и катеты (ME и MF)
значит AE=CF.
Итак, АЕ=СF, BE=BF
Следует, что AB=BC.
Возник парадокс: все
треугольники
равнобедренные
В
E
F
м
А
D
C

Геометрические софизмы

Ошибка в чертеже. Правильный
чертеж:
В
E
А
F
D
M
С

Выводы:

1.
2.
3.
познакомились с понятием
математические софизмы;
научились искать замаскированные
ошибки;
осознали:
важность правильных, корректных
записей и чертежей
недопустимость выполнения запрещенных
действий
важность учета применимости теорем,
формул и правил.

Ответы «Рогатый»

Ошибка здесь состоит в неправильном
переходе от общего правила к частному
случаю, который этим правилом не
предусмотрен.
Действительно, то, что ты не потерял,
подразумевает под словом «то» - все,
что ты имеешь, и ясно, что в него не
включены «рога».
Поэтому заключение «ты имеешь рога»
неправомерно.
назад

«Равен ли полный стакан пустому»

Приведенное рассуждение
неверно, так как в нем
применяется неправильное
действие: увеличение вдвое. В
данной ситуации его
применение бессмысленно.
назад

Ответ. «Последние годы нашей жизни короче, чем первые»

Действительно, 1/30>1/40>1/50.
Но неверно утверждение, что в
течение тридцатого года человек
проживает 1/30 часть жизни, он
проживает 1/30 только той части
жизни, которую он к этому моменту
прожил, но именно части, а не всей
жизни. Нельзя сравнивать между
собой части различных отрезков
времени.
назад

2=3

Если (2-5/2)2=(3-5/2)2, то
правильным следствием
должно быть
Ι2-5/2Ι=Ι3-5/2Ι, откуда следует
Ι-½Ι=Ι½Ι,
а вовсе не равенство 2-5/2=3-5/2
назад

5=6

Ошибка допущена при делении
верного равенства
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
на число (7+2-9), равное нулю.
Этого делать нельзя.
Любое равенство можно делить
только на число,
отличное от нуля!
назад

2·2=5

4:4=5:5
4/4=5/5
Вынесем общие множители:
4·1/4=5·1/5
В результате у нас не образуется общий
множитель, а в предложенном
доказательстве он был получен
вследствие некорректных действий:
4:4=4·(1:1)
назад

Уравнение х-а=0 не имеет корней, или 1=0

Так как х-а – корень
уравнения, то разделив
на (х-а) обе части,
мы потеряли этот корень
и поэтому получили неверное
равенство 1=0.
назад

учитель математики

Ливадийского УВК

Постернакова Ольга Глебовна

ПОНЯТИЕ СОФИЗМА

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

• Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами.

• Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.

• Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы.

• Запрещенные действия;
• пренебрежение условиями теорем; формул и правил;
• ошибочный чертеж;
• опора на ошибочные умозаключения.

ФОРМУЛА УСПЕШНОСТИ СОФИЗМА

• Успешность софизма определяется следующей формулой:

a + b + c + d + e + f ,

где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.

• а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием). b - положительные качества лица (способность активно мыслить) с - аффективный элемент в душе искусного диалектика d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика f - пассивность слушателя
• а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием).
• b - положительные качества лица (способность активно мыслить)
• с - аффективный элемент в душе искусного диалектика
• d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления
• е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика
• f - пассивность слушателя

• Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.
• Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем уравнение х = а. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах = -4а 2 . Прибавляя к обеим частям последнего равенст­ва х 2 и перенеся член -4а 2 влево с противоположным зна­ком, получим х 2 -4ах + 4a 2 = х 2 , откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем
• (х-2а) 2 = х 2 , х-2а = х.
• Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, по­лучим а-2а = а, или -а = а, откуда 0 = a + a,
• т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.

• Все числа равны между собой
• Докажем, что 5=6.
• Запишем равенство:
• 35+10-45=42+12-54
• Вынесем за скобку общие
• множители: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Разделим обе части этого равенства на
• общий множитель (он заключен в скобки):
• 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
• Значит, 5=6 .

• «Дважды два равно пяти».
• Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

• « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
• Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .
• Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc. Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда: b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ СОФИЗ м

• Бесконечное большое число равно нулю
• Если острый угол увеличивается. Приближаясь к 900 как к пределу, то его тангенс, как известно, неограниченно растёт по абсолютной величине, оставаясь положительным: tg90 0 = +∞.
• Но если взять тупой угол и уменьшить его, приближая к 900 как к пределу, то его тангенс, оставаясь отрицательным, также неограниченно растёт по абсолютной величине: tg90 0 = - ∞.
• Сопоставим формулы (1) и (2): - ∞ = +∞

• «Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»
• Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

• «Софизм Кратила»
• Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.

• «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
• «Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ».
• «Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».
• «Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».

• «Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность - это, очевидно, не ответственность, а ответственность - не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность».

• «Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, те-перь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».

• "Предмет математики настолько серьезен,что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным".
• Б. Паскаль

1 слайд

2 слайд

Цели и задачи Целью нашего проекта является всесторонний анализ понятия «софизма», установление связи между софистикой и математикой, влияние софизмов на развитие логики. Мы поставили перед собой задачи: 1. Узнать: что же такое софизм? как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях? критерии классификации софизмов. 2. Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-10 классов.

3 слайд

Что такое софизм? Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

4 слайд

Немного из истории софизма Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами.

5 слайд

Немного из истории софизма Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов, которая их обосновывала и оправдывала. Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

6 слайд

Софизм «Мёд» - Скажи, - обращается софист к молодому любителю споров, - может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его? - Очевидно, нет. - Посмотрим. Мед сладкий? - Да. - И желтый тоже? - Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого? - Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый - это сладкий или нет? - Конечно, нет. Желтый - это желтый, а не сладкий. - Значит, желтый - это не сладкий? - Конечно. - О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

7 слайд

Софизм «Учеба» The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study?

8 слайд

9 слайд

Логические ошибки Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма.

10 слайд

Терминологические ошибки Неточное или неправильное словоупотребление и построение фразы, более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения.

11 слайд

Психологические ошибки Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных психологических особенностей обеих индивидуальностей.

12 слайд

Формула успешности софизма Успешность софизма определяется следующей формулой: a + b + c + d + e + f, где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы. а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием). b - положительные качества лица (способность активно мыслить) с - аффективный элемент в душе искусного диалектика d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика f - пассивность слушателя

13 слайд

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным», - писал выдающийся ученый XVII века Блез Паскаль.

14 слайд

Сборник задач Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Тригонометрические софизмы

15 слайд

Алгебраические софизмы Все числа равны между собой Докажем, что 5=6. Запишем равенство: 35+10-45=42+12-54 Вынесем за скобку общие множители: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (он заключен в скобки): 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9). Значит, 5=6.

16 слайд

Геометрические софизмы Рассмотрим треугольник ABC. Проведем прямую MN параллельно AB так, как показано на рисунке. Теперь для любой точки L стороны AB проведем прямую CL, которая пересечет MN в точке K. Таким образом установим однозначное соответствие между отрезками AB и MN, т.е. они оба содержат одинаковое количество точек. Значит, имеют одинаковую длину.

18 слайд

Заключение Рассмотрев софизмы, мы узнали многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в школьном курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление - ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.

Песенка, сочинённая английским студентом Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться? Не философия, а мечта лентяев!

Цель: изучить данную тему и создать презентацию для использования ее на уроках. Задачи: 1. Дать определение понятиям «софизм» и «парадоксы»; узнать, в чем их отличие. 2. Классифицировать различные виды софизмов и парадоксов. 3. Понять, как найти в них ошибку. 4. Составить компьютерную презентацию

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Математические софизмы Софизм- формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)

Парадокс (греч. "пара" - "против", "доска" - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат.софизму Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадоксы Парадоксы

В Греции софистами называли и простых ораторов - философов - учителей, задачей которых было научить своих учеников « мыслить, говорить и делать ». Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения. Парадоксы были типичными способами постановки вопроса в античном мышлении. За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. А теперь немного истории…

« Два неодинаковых натуральных числа равны между собой » решим систему двух уравнений Сделаем это подстановкой у из 2- го уравнения в 1, получаем х +8- х =6, откуда 8=6 Где ошибка Уравнение (2) можно записать как х +2 у =8, так что исходная система запишется в виде: Х +2 у =6, Х +2 у =8 В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т. е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у =3- х /2 и у =4- х /2 параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

« Уравнение x-a=0 не имеет корней » « Уравнение x-a=0 не имеет корней » Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Где ошибка? Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.

0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c" title="« Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c" class="link_thumb"> 12 « Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + ca ab = ba b 2 + cb a(a + c b) = b(a b + c) отсюда a = b Где ошибка? По определению: a + c = b Значит, a + c b = 0 И выражение a(a + c b) = b(a + c b) Тождественно a 0 = b 0. 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c"> 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + ca ab = ba b 2 + cb a(a + c b) = b(a b + c) отсюда a = b Где ошибка? По определению: a + c = b Значит, a + c b = 0 И выражение a(a + c b) = b(a + c b) Тождественно a 0 = b 0."> 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c" title="« Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c"> title="« Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c">

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

« Дважды два - пять » Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или Так как 1:1=1, то сократим и получим Где ошибка? Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:44(1:1).

« Пять равно шести » Возьмем тождество = В каждой части вынесем за скобки общий множитель: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Теперь, получим, что 5=6. Где ошибка? Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

« Один рубль не равен ста копейкам » « Один рубль не равен ста копейкам » Известно, что любые два равенства можно перемножить почленноее, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленноее, получим 10 рублей = копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Парадокс « Разность квадратов » Парадокс « Разность квадратов » 1) а²-а² = а²-а² - имеем равенство 2) а(а-а) = (а+а)(а-а) – в первой части вынесем общий множитель за скобки, а во второй воспользуемся формулой 3) а = а+а – сократим на общий множитель (а-а) 4) а = 2 а.

Анкетирование 1. Укажите ваш пол. 2. Знакомы ли вам понятия математический « софизм » и « парадокс »? 3. Если, отвечая на предыдущий вопрос, вы ответили положительно, постарайтесь дать определения этих понятий. 4. Приводились ли примеры софизмов и парадоксов на уроках математики? (Ответ при условии положительного ответа на предыдущий вопрос) 5. Хотели бы вы больше узнать о математических парадосках и софизмах?

Заключение Я познакомился с увлекательной темой, узнал много нового, научился решать задачки на софизмы, находить в них ошибку, разбираться в парадосках. Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрел лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких - нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Литература 1. Lietzman W. Wo steckt der Fehler? Mathematische Trugschlüsse und Warnzeichen. – Leipzig? Аменицкий Н. Математические развлечения и любопытные приемы мышления. – М., Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. – М.; Л., Больцано Б. Парадоксы бесконечного. – Одесса, Брадис В. М., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. – М., Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. – М., Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? – СПб., Лямин А. А. Математические парадоксы и интересные задачи. – М., Мадера А. Г., Мадера Д. А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, Обреимов В. И. Математические софизмы. – 2- е изд. – СПб., 1889.

Кошевая Виолетта

Софизм (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) – умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Софизмы и парадоксы Работу выполнила: Кошевая Виолетта, 11 «Б» класс Учитель: Кончина Г.К. 2015 год

Софизм (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) – умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Что такое софизм?

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Экскурс в историю.

Классификация софизмов Логические Алгебраические софизмы Геометрические софизмы

« Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленно, получим 10 рублей = 100 000 копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка?

проверим Разбор софизма: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

«Дважды два - пять» Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или 2*2=5 Так как 1:1=1 , то сократим и получим Где ошибка?

проверим Разбор софизма. Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b (b - a - c) = - c (b - a - c), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Где ошибка???

проверим В выражении b (b-a-c)= - c (b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

«Полупустое и полуполное» «Полупустое есть то же, что и полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Разбор софизма. Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. проверим

«Софизм учебы » песенка, сочиненная английскими студентами: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study ? Перевод. Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться?

Парадокс (греч. "пара" - "против", " докса " - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). В широком смысле парадокс - высказывание, истинность которого неочевидна. Парадоксальными называются любые неожиданные противоречивые высказывания. Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадоксы

Ахиллес и черепаха движутся по прямой в одну и ту же сторону, черепаха находится на расстоянии 1000 метров впереди Ахиллеса. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползёт черепаха. Ахиллес никогда не догонит черепаху. «Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе».

Ахиллес никогда не догонит черепаху, ведь пока он пробежит 1000 метров до того места, где находилась черепаха, та уже отползёт на 100 метров вперёд. Когда же Ахиллес пробежит и эти 100 метров, черепаха отползёт ещё немного дальше. Это будет продолжаться бесконечно: каждый раз, когда Ахиллес бежит до места, где была черепаха, она уже отползёт на некоторое расстояние. «Доказательство»

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Эпименид сам критянин. Следовательно, он лжец. Но если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит, критяне не лгуны. Между тем Эпименид, как определено условием, критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение "все критяне лгуны" - истинно. «Парадокс лжеца»

В некой деревне, где жил единственный парикмахер-мужчина, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить. «Парадокс парикмахера»

Два приятеля однажды вели такой разговор. - Видишь кучу песка? - спросил первый. - Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле. - Почему? - удивился первый. - Очень просто, - ответил второй. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет. «Парадокс кучи»

ПАРАДОКС - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Парадокс в более узком и более современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы. Софизмы являются логически неправильными рассуждениями, выдаваемыми за правильные и доказательные. Софизм – это обман. Но обман тонкий и закамуфлированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Вывод:

Список литературы. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы» Москва, «Просвещение», 2003г. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва, «Просвещение», 1988г. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г Литература